偏微分方程数值解

工具箱使用

步骤如下：

画区域，Draw或者直接在菜单栏上找，（画圆时，需要按住 Ctrl）
设置边界条件，Boundary进入边界模式，按住shift选择边界进行设置
设置方程：PDE Specification
网格剖分
解方程：Solve PDE
绘图：Plot Parameters
输出数值解： Export Solution

偏微分方程模型

椭圆方程

散射问题
最小曲面问题（泛函极值问题）：利用变分极值转化为非线性偏微分方程
非线性椭圆型方程

抛物型方程

热传导方程

双曲型方程

波动方程

有限差分

核心：用差商代替微商

对于椭圆型：

五点差分格式
九点差分格式
极坐标下的差分格式

对于抛物型：

常系数扩散方程

1.1 差分格式
1.2 加权格式
1.3 三层格式
1.4 跳点格式

初值问题

Saul‘ev算法
分组显示方法

对流扩散方程

修正中心显格式
迎风差分格式
Samarskii格式
指数型差分格式
隐式格式
特征差分格式

变系数方程

Taylor展开法
Keller盒式格式

多维问题

交替方向隐式格式
局部一维格式
预测-校正格式
跳点格式

非线性方程

Richtmyer线性化方法
拟线性扩散方程的隐式格式
三层格式
预测-校正法
对于双曲型：

有限元法如下：

有限差分法如下：

v0=100;%上边界
hx=17;hy=10;%确定网格步长上下界
v1=zeros(hy,hx);
v1(hy,:)=ones(1,hx)*v0;%上边界
v1(2:hy-1,2:hx-1)=ones(hy-2,hx-2);%中间的初始化
v2=zeros(hy,hx);maxt=1;t=0;%初始化
v2(hy,:)=v1(hy,:);%上边界
while (maxt>0.1)%由v1迭代，算出v2，迭代精度为0.1
    for i=2:hy-1
        for j=2:hx-1
            v2(i,j)=(v1(i,j-1)+v1(i,j+1)+v1(i-1,j)+...
                v1(i+1,j))/4;%五点格式差分法
            t=v2(i,j)-v1(i,j);
            maxt=0;
            if(t>maxt) 
                maxt=t; 
            end
        end
    end
    v1=v2;
end
subplot(1,2,1),surf(v2);
axis([0,17,0,10,0,100])
subplot(122)
contour(v2);%画等值线
hold on;%保屏
x=1:hx;y=1:hy;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);%形成栅格
[Gx,Gy]=gradient(v2,0.6,0.6);%计算梯度
quiver(xx,yy,Gx,Gy,'r');%画矢量图
hold off