WHUT杯数学竞赛

WHUT杯数学竞赛好题几例

雨中漫步

(1)$\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{n}}}$

解：
$x+1=\tan t\text{进行换元}:$

$\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{dx}{\left( x^2+2x+2 \right) ^n}}=\int_{-\infty}^{+\infty}{\cos ^{2n-2}t}dt$

$\text{根据}wallis\text{公式}:$

$\int_{-\infty}^{+\infty}{\cos ^{n-2}t}dt=2\cdot \frac{\left( 2n-3 \right) !!}{\left( 2n-2 \right) !!}\cdot \frac{\pi}{2}$

$\qquad \qquad =\frac{\left( 2n-3 \right) !!}{\left( 2n-2 \right) !!}\pi$

(2)求极限: $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( b^{\frac{1}{n}}-1 \right) \sum\limits_{i=0}^{n-1}{b^{\frac{i}{n}}\sin b^{\frac{2i+1}{2n}}}\ \ \left( b>1 \right)$

解：

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left( b^{\frac{1}{n}}-1 \right) \sum_{i=0}^{n-1}{b^{\frac{i}{n}}\sin b^{\frac{2i+1}{2n}}}$

$=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( b^{\frac{i+1}{n}}-b^{\frac{i}{n}} \right) \sum_{i=0}^{n-1}{\sin b^{\frac{2i+1}{2n}}}$

$\text{考虑}区\text{间划分}:$

$\Delta _i=b^{\frac{i+1}{n}}-b^{\frac{i}{n}}$

$\text{由定积分定义}$

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left( b^{\frac{1}{n}}-1 \right) \sum_{i=0}^{n-1}{b^{\frac{i}{n}}\sin b^{\frac{2i+1}{2n}}}=\int_1^b{\sin x}dx=\cos 1-\cos b$

$\text{我们经常见到的黎曼积分定义求极限是}$

$\Delta _i=\frac{k+1}{n}-\frac{k}{n}=\frac{1}{n}$

$\text{等间距划分，很少遇到这种}$

$\Delta _i=b^{\frac{i+1}{n}}-b^{\frac{i}{n}}$

非线性划分，望大家在学习过程中多些思考理解，少些方法套路

(3)将5个A和5个a有序排列,其中有种序列任意前k个数k=1,2…10,A的个数多于a的个数,例如:(A,a,A,a,A,a,A,A,a,a)满足条件,而(A,a,A,a,A,a,a,A,A,a)不满足,因为当k=7时,有4个a,3个A,试问这种序列有$\underline{\ \ \ 42\ \ \ \ }$种

解:我们将A视为进栈，a视为出栈，则这种序列对应着一种5个数据元素进出栈的方式，栈的特点是先进后出，不可能空栈出，也不可能满栈进，我们先不考虑无效进出栈的方式，那么10个A或a有五个A总共有$C_{10}^{5}$种方式，而对于每种错误排序方式如下图：

A
a
A
a
A
a
A
a
a
A

从第九个数据开始出现问题，前八个元素操作导致栈为空，不能再执行第九个元素对应的出栈操作，此时假设我们将之前的九个元素取反（A变为a，a变为A）

则变为：

a
A
a
A
a
A
a
A
A
A

显然这两种序列是一一对应的（把第二种从前往后累加到1时，前面取反就回到第一个序列），而第二种序列的有6个A和4个a，排列方式为$C_{10}^{4}$种，因此成功有效进出栈的次数只有$$C_{10}^{5}-C_{10}^{4}=42\text{种}$$

(4)已知:方程$$x^2\ln a=x^2\ln x+a\ln x$$有三个实根,求$a$的取值范围

解:先将问题转化为$$\frac{x^2\ln a}{x^2+a}-\ln x=0$$有三个根

又$x>0$,因此问题可以转化为$$\frac{x\ln a}{x+a}-\frac{\ln x}{2}=0$$有三个根，令$$f\left( x \right) =\frac{x\ln a}{x+a}-\frac{\ln x}{2}$$则

$f'\left( x \right) =\frac{a\ln a}{\left( x+a \right) ^2}-\frac{1}{2x}$

$=\frac{-x^2+\left( 2a\ln a-2a \right) x-a^2}{2x\left( x+a \right) ^2}$

$f'(x)$必须有两个正根，这样$f\left( x \right)$才能有两个极值点,从而才有可能有三个根

$\therefore \Delta =4a^2\left( \ln ^2a-2\ln a \right) >0$

$\text{且}2a\ln a-2a>0\left( \text{保证}为\text{正根} \right) $

我们从而可以得出这个必要条件:$$a>e^2$$
此时: $$x_1=a\ln a-a-a\sqrt{\ln ^2a-2\ln a},$$ $$x_2=a\ln a-a+a\sqrt{\ln ^2a-2\ln a}$$代入$f(x)$可得：$$f\left( x_1 \right) <0\text{，}f\left( x_2 \right) >0$$
$\therefore \text{当} a>e^2\text{时，一定有三个}\text{解}$