傅里叶

DFS，DTFT，DFT，FFT（一）

DFS

对于离散序列，我们首先得研究出标准序列的完备性正交性：

这里我们使用正交集$\phi _i$:

$\phi _i=\left( 1,e^{ji\frac{2\pi}{N}},\cdots ,e^{ji\frac{2\pi}{N}\left( N-1 \right)} \right) ^T$

求出$\phi _l$与$\phi _s$内积

$( \phi _l,\phi _s ) =\sum_{n=< N>}{e^{j( \frac{2\pi}{N} ) ( l-s ) n}}$

由于$0\leqslant l,s <N $

$\because -\left( N-1 \right) \leqslant l-s\leqslant N-1$

$\therefore -1<\frac{l-s}{N}<1$

$\therefore l\ne s$时,我们有：

$e^{j\left( \frac{2\pi}{N} \right) \left( l-s \right)}\ne 1$

$\because e^{j\left( \frac{2\pi}{N} \right) \left( l-s \right) N}=0$

$\therefore \left( \phi _l,\phi _s \right) =\sum_{n=< N>}{e^{j\left( \frac{2\pi}{N} \right) \left( l-s \right) n}}$

$=\frac{1-e^{j\left( \frac{2\pi}{N} \right) \left( l-s \right) n}}{1-e^{j\left( \frac{2\pi}{N} \right) \left( l-s \right)}}=0$

$l=s$时，即$e^{j\left( \frac{2\pi}{N} \right) \left( l-s \right)}=1$

$\therefore \left( \phi _l,\phi _s \right)=\sum_{n=< N>}{e^{j\left( \frac{2\pi}{N} \right) \left( l-s \right) n}}=N$

$\therefore \sum\limits_{n=< N>}{e^{jk\left( \frac{2\pi}{N} \right) n}}$是完备正交序列，且完备性为：

$\begin{cases} N\,\, k=\lambda N,\lambda 为\text{整数}\\ 0 k=other\\ \end{cases}$

因此我们可以将周期为$N$的离散信号$x[n]$分解为有限$N$项完备正交序列:

$x\left[ n \right] =\sum_{k=< N>}{a_ke^{jk\left( \frac{2\pi}{N} \right) n}}$

为了求出离散傅里叶系数，利用其正交性，上式同时乘$e^{-j\left( \frac{2\pi}{N} \right) mn}$，再进行求和。

$\sum_{n=< N>}{}{x\left[ n \right] e^{-j\left( \frac{2\pi}{N} \right) mn}}$

$=\sum_{n=< N>}{}{\sum_{k=< N>}{}{a_k}e^{j\left( k-m \right) \left( \frac{2\pi}{N} \right) n}}$

利用正交性即得到系数：

$a_m=\frac{1}{N}\sum_{n=< N>}{x\left[ n \right]}e^{-jm\left( \frac{2\pi}{N} \right) n}$

这样我们就得到离散周期信号傅里叶级数$(DFS)$的结果：

$x\left[ n \right] =\sum_{k=< N>}{a_ke^{jk\left( \frac{2\pi}{N} \right) n}}$

$a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=< N>}{x\left[ n \right] e^{-jk\left( \frac{2\pi}{N} \right) n}}$

对于有限长信号，我们可以将其长度延拓为周期$N$，从而得到离散信号$DFT$变换

类型	时间函数	频率函数	关系
傅里叶级数$FS$	连续周期$T_0$	非周期离散$\varOmega _0$	$\varOmega _0=\frac{2\pi}{T_0}$
傅里叶变换$FT$	连续非周期	连续非周期	$NULL$
离散时间傅里叶变换$DTFT$	离散$N$非周期	连续周期$\varOmega$	$\varOmega=\frac{2\pi}{N}$
离散傅里叶变换$DFT$	离散$T_s$周期$T_0$	周期$\varOmega_s$离散$\varOmega_0$	$\varOmega _0=\frac{2\pi}{T_0}$,$\varOmega _s=\frac{2\pi}{T_s}$