确知信号

频率分析

周期信号的频谱

设$s(t)$周期为$T_0$且满足Dirichlet条件，则可以展开为指数型的傅里叶级数：

$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{jnw_0 t}$

其中傅里叶系数为：

$C_n=C(nf_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} s(t)e^{-jnw_0 t}dt$

直流分量为信号一个周期的时间平均值：

$C_0=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} s(t)dt$

以周期为2，脉宽为1，幅度为1的方波信号进行频域变换为：

时域为：

频域为：

非周期信号的频谱

非周期信号的频谱通过傅里叶变换求出概率密度函数

eg：时域信号：

频域谱图：

能量谱和功率谱

能量信号有能量谱，功率信号有功率谱

能量谱密度

设$s(t)$频谱密度为$S(t)$，则能量谱密度为：

$G(f)=|S(f)|^2 \qquad (j/Hz)$

能量信号的能量——Parseval

$E=\underset{\text{时域}}{\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}{s^2\left( t \right) dt}}}=\underset{\text{频域}}{\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}{|S\left( f \right) |^2df}}}$

功率谱密度

$P\left( f \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T}|S_T\left( f \right) |^2\qquad \left( W/Hz \right)$

功率信号的功率——Parseval

$P=\underset{\text{时域}}{\underbrace{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s^2\left( t \right) dt}}}=\underset{\text{频域}}{\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}{P\left( f \right) ^2df}}}$

对于周期信号，其功率谱密度为

$P\left( f \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{|C_n|^2\delta \left( f-nf_0 \right)}$

$P\left( w \right) =2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty}{|C_n|^2\delta \left( w-nw_0 \right)}$

其Parseval恒等式为

$P=\underset{\text{时域}}{\underbrace{\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{s^2\left( t \right) dt}}}=\underset{\text{频域}}{\underbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{|C_n|^2}}}$

时域分析

相关函数

1. 能量信号互相关函数：

$R_{12}\left( \tau \right) =\int_{-\infty}^{+\infty}{s_1\left( t \right) s_2\left( t+\tau \right) dt}$

2. 功率信号互相关函数：

$R_{12}\left( \tau \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s_1\left( t \right) s_2\left( t+\tau \right) dt}$

• 自相关函数即令$s_1(t)=s_2(t)=s(t)$

互相关函数的性质

• 若对任意$\tau$有$R_{12}(\tau)=0$，则两个信号互不相关。
• $R_{12}(\tau)=R_{21}(-\tau)$
• $R_{12}(0)=R_{21}(0)$可用于表示$s_1(t)$和$s_2(t)$无时差时的相似性，可做为互相关系数。
• 归一化互相关系数：
  • 对于两个能量信号：

  $\rho_{12}=\frac{R_{12}(0)}{\sqrt{E_{1} E_{2}}}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty} s_{1}(t) s_{2}(t) \mathrm{d} t}{\sqrt{E_{1} E_{2}}}$

  • 对于两个功率信号：

  $\rho_{12}=\frac{R_{12}(0)}{\sqrt{P_{1} P_{2}}}$

自相关函数的性质

• $R(\tau)=R(-\tau)$

• $|R(\tau)| \leqslant R(0)$

• $R(0)$可表示为能量信号（功率信号）的能量或功率

相关函数和谱密度关系（重点）

• 能量信号的自相关函数与能量谱密度是一对傅里叶变换：

$R\left( \tau \right) \Longleftrightarrow |S\left( f \right) |^2$

• 功率信号的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换：

$R\left( \tau \right) \Longleftrightarrow P\left( f \right)$

下面绘制出$g_\tau (t),\tau=1$在[-10,10]的自相关函数与$g_\tau (t)$和$\sin (t)$的互相关函数：