DCT图像处理

图像处理————傅里叶变换

定义：

对于数字图像来说，它的储存方式主要为二维矩阵，因此引进连续二元函数的二维傅里叶变换及反变换定义(学过傅里叶变换的看应该很容易理解，就不细讲)：

$\begin{array}{l} F(u, v)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi(u x+v y)} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ f(x, y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} F(u, v) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi(u x+v y)} \mathrm{d} u \mathrm{d} v \end{array}$

由于计算机对数字图像的储存为离散形式，因此得到离散形式的傅里叶变换与逆变换：

$\begin{array}{l} F(u, v)=\sum\limits_{m=0}^{M-1} \sum\limits_{n=0}^{N-1} f(m, n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi u m} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi v n}, \quad m=0,1, \cdots, M-1, n=0,1, \cdots, N-1 \\ f(m, n)=\sum\limits_{m=0}^{M-1} \sum\limits_{n=0}^{N-1} F(u, v) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi u m} \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi v n}, \quad u=0,1, \cdots, M-1, v=0,1, \cdots, N-1 \end{array}$

实现

二维离散傅里叶变换fft2

Y = fft2(X)
Y = fft2(X , m, n)

其中$X$为需变换的矩阵，$m,n$为返回$Y$的行数和列数，若$m,n$大于$X$的维数，则在$Y$相应的位置补0

二维离散傅里叶逆变换ifft2

Y = ifft2(X)
Y = ifft2(X , m, n)

其中$X$为需变换的矩阵，$m,n$为返回$Y$的行数和列数，若$m,n$大于$X$的维数，则在$Y$相应的位置补0

$n$维离散傅里叶变换fftn

Y = fftn(X)
Y = fftn(X , m, n)

其中$X$为需变换的矩阵，$m,n$为返回$Y$的行数和列数，若$m,n$大于$X$的维数，则在$Y$相应的位置补0

n维离散傅里叶逆变换ifftn

Y = fft2(X)
Y = fft2(X , m, n)

其中$X$为需变换的矩阵，$m,n$为返回$Y$的行数和列数，若$m,n$大于$X$的维数，则在$Y$相应的位置补0

将零频分量移到频谱中心fftshift

通过将零频分量移动到数组中心，重新排列傅里叶变换 $X$，利于观察频谱。

Y = fftshift(X)
Y = fftshift(X,dim)

频率响应freqz2(h)

freqz2用于求解频率响应，下图为高斯滤波器处理下的频响图

离散余弦变换DCT

离散余弦变换DCT是图像压缩的一种常见的变换，它将图像表示为具有不同振幅和频率的正弦曲线和。类似于离散傅里叶变换，他利用傅里叶变换的对称性将图像变化成偶函数的形式，然后进行二维傅里叶变换，变换的结果仅包含余弦项，因此称为离散余弦变换。
我们可以根据离散余弦变换的几个系数表示出图像的大部分信息，可以用于图像的压缩。

离散余弦变换DCT

在图像处理中，我们经常利用二维DCT变换，而二维是建立在一维的基础之上，因此了解一维很重要，维基百科上给出八种常见形式，摘选出其中一种：

$f_{p}=\sum_{m=0}^{n-1} x_{m} \cos \left[\frac{\pi}{n} p\left(m+\frac{1}{2}\right)\right]$

二维DCT定义

对于一个$M\times N$的矩阵$A$，其DCT变换为(通过一维定义可以看出，严格证明此处省略):

$\begin{array}{l} B_{p q}=\alpha_{p} \alpha_{u} \sum\limits_{m=0}^{M-1} \sum\limits_{n=0}^{N-1} A_{m n} \cos \frac{\pi(2 m+1) p}{2 M} \cos \frac{\pi(2 n+1) q}{2 N}, 0 \leqslant p \leqslant M-1,0 \leqslant q \leqslant N-1 \\ \alpha_{p}=\left\{\begin{array}{l} 1 / \sqrt{M}, p=0 \\ \sqrt{2 / M}, 1 \leqslant p \leqslant M-1 \end{array}, \alpha_{q}=\left\{\begin{array}{l} 1 / \sqrt{N}, q=0 \\ \sqrt{2 / N}, 1 \leqslant q \leqslant N-1 \end{array}\right.\right. \end{array}$

这里的$B_{pq}$可以看做是基函数的权重

DCT变换矩阵

计算DCT一般有两种方法：

• 使用dct2()函数实现快速傅里叶变换

B = dct2(A)
B = dct2(A,m,n)
B = dct2(A,[m n])

• 使用DCT变换矩阵由函数dctmtx()返回

DCT图像变换

DCT算法进行压缩即进行DCT变换后在进行逆变换。其中DCT系数：

变换前后两张图为：

代码如下：

RGB = imread('公众号.jpg');
I = rgb2gray(RGB);
J = dct2(I);
imshow(log(abs(J)),[]);
colormap(jet(64));
colorbar
J(abs(J) < 10) =0;
K = idct2(J);
subplot(121),imshow(I);
subplot(122),imshow(K,[0 255]);