离散&连续联合概率密度

连续与离散联合概率密度

在概率论中，教材介绍的随机变量都是连续或离散的联合概率密度，讨论了$Z=X+Y$,当$X,Y$都是离散型或都是连续型时概率分布的计算方法，下面按照我的理解方式来举例说明如何求解：

设$X$~$U(0,1), Y$服从$0-1$分布，且$X,Y$相互独立，求$Z$的概率密度。

方法一：常规计算(较麻烦)

$F_Z\left( z \right) =P\left\{ Z\le z \right\} =P\left\{ X+Y\le z \right\} =P\left\{ X\le z \right\} \left( 1-p \right) +P\left\{ X\le z-1 \right\} p$

=\begin{equation} \begin{cases} 0 \,\,\,\,\, z\le 0\\ z\left( 1-p \right) \,\,\,\,\,\, 0<z\le 1\\ 1-p+\left( z-1 \right) p \,\,\,\,\,\, 1<z\le 2\\ 1 z>2\\ \end{cases} \end{equation}

\begin{equation} f_Z\left( z \right)= \begin{cases} 0 \,\,\,\,\, z\le 0\\ 1-p \,\,\,\,\, 0<z\le 1\\ p \,\,\,\,\, 1<z\le 2\\ 0 \,\,\,\,\, z>2\\ \end{cases} \end{equation}

方法二:自定义冲激函数

\begin{equation} \delta \left( t \right) =\begin{cases} 1 \,\,\,\,\, t=0\\ 0 \,\,\,\,\, t\ne 0\\ \end{cases} \end{equation}

( 注:这是我自定义，实际上冲激函数在$0$处冲激为无穷，冲激序列在$0$处冲激为1)

且有阶跃函数

\begin{equation} \varepsilon \left( t \right) =\begin{cases} 1 \,\,\,\,\, t>0\\ 0 \,\,\,\,\, t<0\\ \end{cases} \end{equation}

利用阶跃函数卷积性质，易知

\begin{equation} F_Y\left( y \right) =\begin{cases} 0 \,\,\,\,\, y<0\\ 1-p \,\,\,\,\, 0\le y<1\\ 1 \,\,\,\,\, y\ge 1\\ \end{cases} \end{equation}

$f_Z\left( z \right) =\left[ f_Y\left( z \right) \right] *\left[ \varepsilon \left( z \right) -\varepsilon \left( z-1 \right) \right]$

$=F_Y\left( z \right) -F_Y\left( z-1 \right)$

\begin{equation} =\begin{cases} 0 \,\,\,\,\, z<0\\ 1-p \,\,\,\,\, 0\le z<1\\ 1 \,\,\,\,\, z\ge 1\\ \end{cases}-\begin{cases} 0 \,\,\,\,\, z<1\\ 1-p \,\,\,\,\, 1\le z<2\\ 1 \,\,\,\,\, z\ge 2\\ \end{cases} \end{equation}

\begin{equation} =\begin{cases} 0 \,\,\,\,\, z \le 0\\ 1-p \,\,\,\,\, 0<z \le 1\\ p \,\,\,\,\, 1<z \le 2\\ 0 \,\,\,\,\, z>2\\ \end{cases} \end{equation}