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组合数

恒等式 组合数
数学
发布日期:   2021-10-20
文章字数:   489

组合数一列等式

求解：

∑k=1n−1k(n−1k−1)mn−k\sum_{k=1}^{n-1}{k\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1\\ \end{array} \right)}m^{n-k}

联想到二次项恒等式：

∑k=0n(nk)xkmn−k=(x+m)n\sum_{k=0}^n{\left( \begin{array}{c} n\\ k\\ \end{array} \right)}x^km^{n-k}=\left( x+m \right) ^n

∴(x+m)n−1=∑k=1n−1(n−1k−1)xk−1mn−k\therefore \left( x+m \right) ^{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}{\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1\\ \end{array} \right)}x^{k-1}m^{n-k}

∴x(x+m)n−1=∑k=1n−1(n−1k−1)xkmn−k\therefore x\left( x+m \right) ^{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}{\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1\\ \end{array} \right)}x^km^{n-k}

∴∂[x(x+m)n−1]∂x=∂[∑k=1n−1(n−1k−1)xkmn−k]∂x\therefore \frac{\partial \left[ x\left( x+m \right) ^{n-1} \right]}{\partial x}=\frac{\partial \left[ \sum_{k=1}^{n-1}{\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1\\ \end{array} \right)}x^km^{n-k} \right]}{\partial x}

∴(x+m)n−1+x(n−1)(x+m)n−2=∑k=1n−1k(n−1k−1)xk−1mn−k\therefore \left( x+m \right) ^{n-1}+x\left( n-1 \right) \left( x+m \right) ^{n-2}=\sum_{k=1}^{n-1}{k\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1\\ \end{array} \right)}x^{k-1}m^{n-k}

∴∑k=1n−1k(n−1k−1)mn−k=(m+1)n−1+(n−1)(m+1)n−2\therefore \sum_{k=1}^{n-1}{k\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1\\ \end{array} \right)}m^{n-k}=\left( m+1 \right) ^{n-1}+\left( n-1 \right) \left( m+1 \right) ^{n-2}

∴∑k=1n−1k(n−1k−1)9n−k=(n+9)⋅10n−2\therefore \sum_{k=1}^{n-1}{k\left( \begin{array}{c} n-1\\ k-1\\ \end{array} \right)}9^{n-k}=\left( n+9 \right) \cdot 10^{n-2}

文章作者: 王胜鹏
文章链接: https://wspwhut6666.gitee.io/posts/9ac1aea8.html
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