正交与二次型

正交矩阵其实就是空间的旋转，先说结论：
椭圆的长短轴分别沿着矩阵$\boldsymbol{A}$的两个特征向量的方向，而两个与之对应的特征值分别是半长轴和半短轴的长度的平方的倒数。

拿我们最熟悉的椭圆方程举例：

$ax^2+2bxy+cy^2=1$

化为矩阵形式：

$\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{ll} a & b \\ b & c \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=x^{T} A x=1$

这个方程可能是双曲线也可能是椭圆或抛物线，如果是椭圆，则$\boldsymbol{A}$是正定矩阵，举例：

$5x^2+8xy+5y^2=1$

可以转化为：

$\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{ll} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=x^{T} A x=1$

$\boldsymbol{A}$的特征值为：

$\lambda_1=1, \lambda_2=9$

$\boldsymbol{A}$的归一化特征向量为：

$\mu_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} \end{array}\right] \mu_{2}=\left[\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right]$

于是可以将$\boldsymbol{A}$正交分解：

$A=Q \Lambda Q^{-1}=Q \Lambda Q^{T}=\left[\begin{array}{cc} 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \end{array}\right]$

因此：

$\begin{aligned} P(f) &=x^{T} A x=x^{T} Q \Lambda Q^{T} x \\ &=\left(Q^{T} x\right)^{T} \Lambda\left(Q^{T} x\right) \\ &=1\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^{2}+9\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^{2}\\ &=m^2+9n^2 \end{aligned}$

且：

$\begin{cases} m=\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y\\ n=\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y\\ \end{cases}$

相当于$(x,y)$逆时针旋转了45°得到$(m,n)$,这样就得到了旋转后的方程，以及旋转方向。

• 注意：二维的旋转矩阵是:

$\begin{cases} m=\cos \theta \cdot x-\sin \theta \cdot y\\ n=\sin \theta \cdot x+\cos \theta \cdot y\\ \end{cases}$